সুপ্রভাত সদস্য-সদস্যাগণ!
আজও একটা গল্প দিয়েই দিনটা শুরু করা যাক।

আজ যাঁর কথা বলবো তিনিও বিদ্যালয় জীবনে এক অতি সাধারণ অথচ বিখ্যাত সমস্যার অদ্ভুত সমাধান দিয়েছিলেন। আর সেই সমাধান-ভাবনা পরবর্তীকালে তাঁকে প্রতিপদার্থ (antiparticle) -এর জনকরূপে স্বীকৃতি প্রদান করে নোবেল পুরস্কারে ভূষিত করে।

কিছুদিন বৈদ্যুতিক প্রকৌশল (electrical engineering) নিয়ে পড়াশোনা করার পর তাঁর প্রিয় বিষয় গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান (mathematical physics) নিয়ে পড়াশোনা করতে কেমব্রিজ আসেন। ১৯২৬ সালে মাত্র ২৪ বছর বয়সে তিনি পি.এইচ.ডি. করেন।

এবার আসা যাক তাঁর সেই অদ্ভুত সমাধান-এর কথায়।

আগে সমস্যাটা জেনে নিই। আমাদের সকলের শোনা সমস্যা এটা। নানাভাবে উপস্থাপিত হয়।

তিনজন জেলে একটা পুকুরে মাছ ধরতে গেল সন্ধ্যেবেলা। মাছ ধরতে ধরতে বেশ রাত হয়ে গেল। মাছগুলো ঝুড়িতে রেখে পুকুরপাড়ে ঘুমিয়ে পড়লো তারা। ঠিক করলো সকালে উঠে সমান সংখ্যায় মাছ ভাগ করে নেবে। প্রথম যে জেলের ঘুম ভাঙল, সে দেখলো বাকিরা অঘোরে ঘুমোচ্ছে। তাদের অপেক্ষায় না থেকে সে ঠিক করলো মাছগুলোর তিনভাগের একভাগ নিয়ে চলে যাবে। কিন্তু মাছের সংখ্যা গুণে খেয়াল করলো সেই সংখ্যা তিনের গুণিতক নয়, বরং একটা মাছ কমিয়ে দিলে সমান তিনভাগ করা যাচ্ছে। সে তাই করলো। একটা মাছ জলে ফেলে বাকি মাছের এক-তৃতীয়াংশ নিয়ে বাড়ি চলে গেল। কিছুক্ষণ পর দ্বিতীয় জেলের ঘুম ভাঙল। সে জানতো না একজন ভাগের মাছ নিয়ে ইতোপূর্বেই চলে গেছে। সেও একই ব্যাপার খেয়াল করলো। তাই একই ভাবনায় একটা মাছ পুকুরে ফেলে বাকি মাছের তিনভাগের এক-ভাগ নিয়ে ফিরে গেল। তৃতীয় জন উঠে দেখলো বাকি দুজন নেই। তবে সেও জানতো না, তারা যে-যার মাছের ভাগ নিয়ে গেছে। অদ্ভুতভাবে সেও একই বিষয় খেয়াল করলো। তাই একটা মাছ পুকুরে বিসর্জন দিলো, আর তিনভাগের এক-ভাগ নিয়ে বাড়ি চলে গেল।

প্রশ্নটা হলো সর্বনিম্ন মাছের সংখ্যা কত যা জেলেরা ধরেছিল। আমরা সবাই জানি, সেই সংখ্যা ২৫।

প্রথম জেলে:
২৫-১=২৪
২৪÷৩=৮
২৪-৮=১৬
দ্বিতীয় জেলে:
১৬-১=১৫
১৫÷৩=৫
১৫-৫=১০
তৃতীয় জেলে:
১০-১=৯
৯÷৩=৩
৯-৩=৬

কিন্তু শ্রেণীকক্ষে যে জবাব দিয়েছিলেন পল অ্যাড্রিয়েন মরিস ডিরাক (Paul Adrien Maurice Dirac) তা সত্যিই অদ্ভুত। তিনি বললেন এর চেয়েও ছোট আর একটা সমাধান সম্ভব। আর মাছের সেই সংখ্যা হলো (-২)। কে তাঁকে বোঝাবে মাছের এরকম একটা ঋণাত্মক সংখ্যা পরিমাণ বাস্তবে অসম্ভব।

প্রথম জেলে:
(-২)-১=(-৩)
(-৩)÷৩=(-১)
(-৩)-(-১)=(-২)
দ্বিতীয় জেলে:
(-২)-১=(-৩)
(-৩)÷৩=(-১)
(-৩)-(-১)=(-২)
তৃতীয় জেলে:
(-২)-১=(-৩)
(-৩)÷৩=(-১)
(-৩)-(-১)=(-২)

তাঁর এই সমাধান (-২) কে তিনি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হিসেবে কল্পনা করলেন। আর বললেন, এর সাথে ২৭-এর গুণিতকগুলো যোগ-বিয়োগ করতে থাকলে এই সমস্যার অসংখ্য সম্ভাব্য সমাধান পাওয়া যাবে। ২৫ সমাধানটিও একাহ্ন থেকেই পাওয়া যায়। (-২)+২৭=২৫।

এবার আমি একটা জানা সমস্যা সমাধানের কাজ দিই আপনাদের। ওপরের সমস্যার সঙ্গে এর অবশ্য কোনো সম্পর্ক নেই সেভাবে।

এক দৈব-পুষ্করিণীর চারপ্রান্তে চারটে মন্দির আছে। পুষ্করিণীটি দৈব, কারণ তার জলে যতগুলো ফুল ডোবানো হয় সেটা ঠিক দু’গুণ হয়ে যায়। মানে আপনি যদি পাঁচটা ফুল তার জলে ডোবান তাহলে ফিরে পাবেন দশটা ফুল। যাই হোক, এক পূজারী রোজ সকালে ওই চারটি মন্দিরে পুজো করেন। তিনি বাড়ি থেকে একটা সাজিতে কিছু ফুল নিয়ে আসেন আর প্রতিটি মন্দিরে সমান সংখ্যক ফুল দিয়ে ভগবানের আরাধনা করেন। তবে একটা ব্যাপার আছে। যেকোনো মন্দিরে প্রবেশের আগে তিনি ফুলগুলো ওই পুকুরের জলে ডুবিয়ে নেন। মানে তিনি বাড়ি থেকে যে ফুলগুলো নিয়ে আসেন প্রথম মন্দিরে ঢোকার আগে সেগুলো ওই পুকুরের জলে ডোবান। তারপর প্রথম মন্দিরে ঢুকে কিছু ফুল দিয়ে পুজো সারেন। অবশিষ্ট ফুলগুলো নিয়ে বাইরে আসেন আর সেই পুকুরের জলে ফের ডোবান। এবার প্রবেশ করেন দ্বিতীয় মন্দিরে। প্রথম মন্দিরের সমান সংখ্যক ফুল দিয়ে দ্বিতীয় মন্দিরে আরাধনা সারেন। এইভাবে যখন তিনি চতুর্থ মন্দির থেকে বেরোন তখন দেখা যায় তাঁর ফুলের সাজিতে আর কোনও ফুল অবশিষ্ট নেই।

প্রশ্ন হলো, তিনি অন্তত কতগুলো ফুল নিয়ে আসেন আর প্রতিটি মন্দিরে কতগুলো ফুল ব্যবহার করেন?

[বিধিসম্মত সতর্কীকরণ: উল্লিখিত দৈব-পুষ্করিণীর পুণ্য-সলিলে মুদ্রাপত্র (currency coins & notes) নিমজ্জিত করিলে তাহা দ্বিগুণিত হয় কিনা ইহা লেখকের অজানা।]